Калькулятор высоты правильного тетраэдра по радиусу вписанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус вписанной сферы в тетраэдр ($r$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$r =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$h = $$$$\frac{20}{7}=$$$$2.85714285714286$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Высота тетраэдра вычисляется по формуле $$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$.

Радиус вписанной сферы в тетраэдр равен $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$.

Выразим из формулы радиуса вписанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = 2\sqrt{6}r$$
Подставим в выражение $$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$ вместо $$a$$ полученное значение $$2\sqrt{6}r$$

$$h = \frac{\sqrt{6}}{3}2\sqrt{6}r = 4r$$

Высота правильного тетраэдра через радиус вписанной сферы вычисляется по формуле:

$$h = 4r$$
$$h$$ — высота правильного тетраэдра
$$r$$ — радиус вписанной сферы в тетраэдр

$$r = \frac{5}{7}\,\text{см}$$
$$h = 4r = 4 \cdot \frac{5}{7} = $$$$\frac{20}{7}=2.85714285714286\,\text{см}$$

Вычисление высоты правильного тетраэдра по радиусу вписанной сферы

Вписанной в правильный тетраэдр называется сфера, которая касается всех четырех его граней. Благодаря идеальной симметрии этой фигуры, центр вписанной сферы всегда лежит на его высоте. Существует фиксированная математическая пропорция: высота тетраэдра ровно в четыре раза больше радиуса этой сферы. Это свойство позволяет вычислить высоту объекта, зная лишь внутренний параметр вписанной в него сферы.

Взаимосвязь высоты и радиуса сферы

Для прямого нахождения высоты используется простая линейная зависимость. Она исключает необходимость предварительного поиска длины ребра, что значительно упрощает расчетный процесс.

$h = 4r$

$h$ — высота правильного тетраэдра;
$r$ — радиус вписанной сферы;
$4$ — постоянный коэффициент соотношения данных величин.

Высота правильного тетраэдра через радиус вписанной сферы — Правильный тетраэдр.

Математическое обоснование

Вывод итогового выражения основывается на сопоставлении формул высоты и радиуса через общее ребро $a$. Это позволяет установить прямую связь между внутренним и внешним параметрами фигуры.

Алгоритм вывода формулы:

Высота правильного тетраэдра через его ребро выражается как: $h = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$.
Радиус вписанной сферы определяется по формуле: $r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.
Если выразить ребро из формулы радиуса, получим: $a = 2\sqrt{6}r$.
При подстановке этого значения в формулу высоты происходит сокращение иррациональных множителей, что приводит к итоговому виду: $h = 4r$.

Работа с калькулятором

Калькулятор предназначен для быстрого получения точных результатов без необходимости проводить ручные вычисления. Это особенно удобно при работе с дробными значениями радиуса.

Преимущества калькулятора:

Поддержка основных метрических единиц: $мм$, $см$, $дм$, $м$ и $км$.
Автоматическое приведение размерностей. Если радиус задан в сантиметрах, а высоту требуется получить в миллиметрах, система выполнит перевод самостоятельно.
Высокая точность итогового значения за счет исключения промежуточных округлений.

Использование данного инструмента помогает быстро соотнести ключевые параметры правильного тетраэдра, обеспечивая надежность расчетов при проектировании моделей или проверке теоретических задач.