Калькулятор формы представления комплексного числа

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Выберите форму числа: алгебраическая $z = a + bi$, тригонометрическая $z = |z|(\cos\phi + i\sin\phi)$ или показательная $z = |z| \cdot e^{i\phi}$, заполните поля, укажите формат результата и нажмите «Представить».

Форма комплексного числа:

$$z =$$

$$+$$ $$i$$

Результат в виде десятичной дроби

Показать пошаговое решение

ОтветТригонометрическая форма (аргумент в радианах)
$$2 \cdot \left(\cos{\dfrac{\pi}{3} } + i \cdot \sin{\dfrac{\pi}{3} }\right)$$

Тригонометрическая форма (аргумент в градусах)
$$2 \cdot \left(\cos{60} + i \cdot \sin{60}\right)$$
Решение$$a + bi = \lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$, где
$$\lvert z \rvert\text{ - модуль комплексного числа}$$
$$φ \text{ - аргумент комплексного числа}$$
$$cos, sin\text{ - косинус и синус}$$
$$i\text{ - мнимая единица}$$

$$z = 1+\sqrt{3}i$$
$$a = 1$$
$$b = \sqrt{3}$$

Найдем модуль $$\lvert z \rvert$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

$$\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = $$$$\sqrt{4}=2$$

Найдем аргумент $$φ$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

Так как $$a > 0$$ то $$arg(z) = arctg\left(\dfrac{b}{a}\right)$$
$$arg(z) = arctg\left(\dfrac{\sqrt{3}}{1}\right) = \dfrac{\pi}{3} = 1.0471975511966$$$$\text{ радиан}$$

Запишем тригонометрическую форму $$\lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

Тригонометрическая форма (аргумент в радианах)
$$2 \cdot \left(\cos{\dfrac{\pi}{3} } + i \cdot \sin{\dfrac{\pi}{3} }\right)$$

Тригонометрическая форма (аргумент в градусах)
$$2 \cdot \left(\cos{60} + i \cdot \sin{60}\right)$$

Формы представления комплексного числа

Комплексные числа — это расширение системы действительных чисел, которое позволяет решать уравнения, не имеющие корней в обычной арифметике. В зависимости от решаемой задачи — будь то простое сложение или сложные расчеты в электротехнике — используют одну из трех основных форм записи. Выбор формы зависит от того, какие арифметические операции необходимо выполнить.

Алгебраическая форма комплексного числа

Алгебраическая форма записи вида $z = a + bi$ используется для удобного выполнения базовых операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.

$$z = a + bi$$

$z$ — комплексное число;
$a, b$ — вещественные числа ($a$ — реальная часть, $b$ — мнимая);
$i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$).

Примеры чисел в алгебраической форме: $2 + 3i$, $2 - 3i$, $-5 + 7i$, $-1 - 2i$, а также чисто мнимые числа, такие как $8i$ или $-4i$.

Тригонометрическая форма комплексного числа

В тригонометрической форме значительно упрощаются операции умножения, деления и возведения в степень. Также при использовании этой формы возможно извлечение корня. Чтобы представить число в таком виде, необходимо вычислить модуль $|z|$ и аргумент $arg(z)$, который представляет собой угол $\varphi$ между радиус-вектором точки и положительной вещественной полуосью.

$$z = |z|(\cos{\varphi} + i \sin{\varphi})$$

$|z|$ — модуль комплексного числа;
$\varphi$ — аргумент комплексного числа;
$\cos{}, \sin{}$ — тригонометрические функции.

Примеры записи: $2 \cdot \left(\cos{\dfrac{\pi}{3} } + i \cdot \sin{\dfrac{\pi}{3} }\right)$, $\sqrt{12} \cdot \left(\cos{\frac{\pi}{6} } + i \cdot \sin{\frac{\pi}{6} }\right)$.

Показательная форма комплексного числа

В показательной форме удобно проводить операции умножения и деления. Она широко применяется в теории цепей для анализа переменного тока, в квантовой механике для описания волновых функций и при разложении периодических функций в ряд Фурье.

$$z = |z| \cdot e^{i\varphi}$$

$e$ — число Эйлера ($\approx 2.71828$);
$i$ — мнимая единица;
$\varphi$ — аргумент числа.

Связь форм записи: Показательная форма тесно связана с тригонометрическими функциями через формулу Эйлера:

$$e^{i\varphi} = \cos{\varphi} + i \sin{\varphi}$$

Это позволяет легко переходить между различными способами представления комплексного числа в зависимости от поставленной задачи.

Наш калькулятор выполняет автоматическое преобразование между всеми формами, избавляя вас от необходимости вручную вычислять тригонометрические функции, извлекать квадратные корни для нахождения модуля или переводить радианы в градусы.