Калькулятор радиуса вписанной сферы в правильный тетраэдр

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите длину ребра правильного тетраэдра ($а$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$a =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$\frac{\sqrt{6}}{20}=$$$$0.122474487139159$$$$\,\text{см}$$РешениеРадиус вписанной сферы в правильный тетраэдр вычисляется по формуле:

$$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в правильный тетраэдр
$$a$$ — длина ребра тетраэдра

$$a = \frac{3}{5}\,\text{см}$$
$$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a = \frac{\sqrt{6}}{12}\cdot \frac{3}{5} = $$$$\frac{\sqrt{6}}{20}=0.122474487139159\,\text{см}$$

Вычисление радиуса вписанной сферы в правильный тетраэдр

Сфера называется вписанной в правильный тетраэдр, если она касается каждой из его четырех граней в их центрах. В этой фигуре всё взаимосвязано: центр такой сферы совпадает с центром самого тетраэдра, а её радиус напрямую зависит от длины ребра. Если вы знаете размер стороны тетраэдра, вычислить параметры вписанной в него сферы можно с помощью одной формулы.

Формула и связь параметров

Математическая зависимость между радиусом вписанной сферы и ребром тетраэдра выражается через постоянный коэффициент. Этот коэффициент учитывает пространственное устройство фигуры и наклон её граней друг к другу.

$r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$

$r$ — радиус вписанной сферы;
$a$ — длина ребра тетраэдра;
$\sqrt{6}$ — иррациональный множитель, характерный для расчетов в тетраэдре.

Радиус вписанной сферы в тетраэдр — Правильный тетраэдр.

Геометрическая логика расчетов

Радиус вписанной сферы тесно связан с высотой тетраэдра. Центр сферы делит высоту в определенной пропорции, что позволяет вывести расчетную формулу через теорему Пифагора и свойства правильных пирамид.

Как это работает:

Центр вписанной сферы находится на высоте тетраэдра.
В правильном тетраэдре этот центр делит высоту в отношении $3:1$, если считать от вершины.
Таким образом, радиус вписанной сферы $r$ составляет ровно четверть от всей высоты фигуры ($r = \dfrac{h}{4}$).

Для чего удобен калькулятор

При ручном счете легко ошибиться, работая с корнями или переводя одни единицы измерения в другие. Калькулятор помогает получить точный результат за несколько секунд.

Возможности калькулятора:

Мгновенный расчет радиуса для тетраэдров любого размера.
Работа со всеми метрическими единицами: от $мм$ до $км$.
Автоматический перевод величин: вы можете ввести ребро в метрах, а радиус получить в сантиметрах или миллиметрах.

Использование калькулятора упрощает решение задач по стереометрии и помогает наглядно увидеть соотношение между линейными размерами тетраэдра и вписанных в него объектов.