Калькулятор радиуса описанной сферы около тетраэдра по радиусу вписанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус вписанной сферы в тетраэдр ($r$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$r =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$R = $$$$\frac{3}{8}=$$$$0.375$$$$\,\text{см}$$ Решение

Вывод формулы

Радиус описанной сферы около тетраэдра вычисляется по формуле $$R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$$.

Радиус вписанной сферы в тетраэдр равен $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$.

Выразим из формулы радиуса вписанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = 2\sqrt{6}r$$
Подставим в выражение $$R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$$ вместо $$a$$ полученное значение $$2\sqrt{6}r$$

$$R = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot 2\sqrt{6}r = 3r$$

Радиус описанной сферы около правильного тетраэдра по заданному радиусу вписанной сферы вычисляется по формуле:

$$R = 3r$$
$$R$$ — радиус описанной сферы около правильного тетраэдра
$$r$$ — радиус вписанной сферы в тетраэдр

$$r = \frac{1}{8}\,\text{см}$$
$$R = 3r = 3 \cdot \frac{1}{8} = $$$$\frac{3}{8}=0.375\,\text{см}$$

Вычисление радиуса описанной сферы около тетраэдра по радиусу вписанной сферы

В геометрии правильного тетраэдра центры вписанной и описанной сфер совпадают, что создает строгую гармонию его параметров. Описанная сфера ограничивает фигуру снаружи, касаясь всех её вершин, в то время как вписанная сфера находится внутри, касаясь центров граней. Отношение их радиусов является константой, зависящей исключительно от пространственных свойств правильного многогранника.

Взаимосвязь радиусов вписанной и описанной сфер

Для определения радиуса описанной сферы достаточно знать радиус вписанной. Математически доказано, что в правильном тетраэдре внешняя сфера всегда в три раза больше внутренней по своему радиусу. Эта линейная зависимость позволяет мгновенно перейти от одного параметра к другому.

$R = 3r$

$R$ — радиус описанной сферы;
$r$ — радиус вписанной сферы;
$3$ — постоянный коэффициент соотношения.

Геометрическое представление правильного тетраэдра.

Математическое обоснование

Вывод итогового выражения основывается на исключении параметра ребра $a$ из формул радиусов обеих сфер. Это позволяет установить прямую связь между ними, минуя характеристики самого тетраэдра.

Этапы вывода формулы:

Радиус описанной сферы определяется формулой: $R = \dfrac{\sqrt{6}}{4}a$.
Радиус вписанной сферы вычисляется как: $r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.
Из формулы вписанной сферы выражается длина ребра $a$ и подставляется в формулу описанной.
После сокращения иррациональных множителей и дробей получается итоговая зависимость: $R = 3r$.

Преимущества использования калькулятора

Калькулятор помогает автоматизировать процесс вычислений, обеспечивая точность и удобство работы с различными метрическими величинами.

Возможности инструмента:

Нахождение радиуса описанной сферы на основе введенного значения вписанной сферы.
Поддержка всех основных единиц измерения: от $мм$ до $км$.
Автоматическое преобразование размерностей, если входные и выходные данные должны быть представлены в разных единицах.

Использование данного калькулятора позволяет быстро сопоставить геометрические размеры правильного тетраэдра, что упрощает проверку решения геометрических задач.