Извлечение корней из комплексных чисел
Корень n-й степени $$\sqrt[n]{z}$$ из любого комплексного числа $$z$$ не равного нулю можно вычислить при помощи формулы Муавра.
$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\lvert z \rvert}\left( \cos{\frac{φ + 2\pi k}{n}} + i \sin{\frac{φ + 2\pi k}{n}} \right)$$
где,
$$n \in N$$
$$n \geq 2$$
$$k \in \left\{0, 1, 2, ..., n-1 \right\}$$
$$\lvert z \rvert\text{ - модуль комплексного числа}$$
$$φ \text{ - аргумент комплексного числа}$$
Количество значений корней зависит от n – степени (показателя) корня, например, если степень корня равна 5, то получится 5 различных значений. Следовательно, необходимо последовательно подставлять в формулу Муавра $$k \in \left\{0, 1, 2, ..., n-1 \right\}$$.
Как видно при извлечении корня из комплексного числа, представленного в алгебраической форме $$z = a + bi$$, прежде всего необходимо найти его модуль $$\lvert z \rvert$$ и аргумент $$φ$$ или $$arg(z)$$.
Например, вычислим $$\sqrt{\sqrt{2} + \sqrt{2}i}$$. В данном примере степень корня равна 2, так как корень квадратный.
Представим комплексное число в тригонометрической форме.
$$a + bi = \lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$, где
$$\lvert z \rvert\text{ - модуль комплексного числа}$$
$$φ \text{ - аргумент комплексного числа}$$
$$cos, sin\text{ - косинус и синус}$$
$$i\text{ - мнимая единица}$$
$$z = \sqrt{2}+\sqrt{2}i$$
$$a = \sqrt{2}$$
$$b = \sqrt{2}$$
Найдем модуль $$\lvert z \rvert$$ комплексного числа $$\sqrt{2}+\sqrt{2}i$$
$$\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2 + \left(\sqrt{2}\right)^2} = $$$$\sqrt{4}=2$$
Найдем аргумент $$φ$$ комплексного числа $$\sqrt{2}+\sqrt{2}i$$
Так как $$a > 0$$ то $$arg(z) = arctg\left(\frac{b}{a}\right)$$
$$arg(z) = arctg\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} = 0.785398163397448$$$$\text{ радиан}$$
Запишем тригонометрическую форму $$\lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$ комплексного числа $$\sqrt{2}+\sqrt{2}i$$
$$z = $$$$2 \cdot \left(\cos{\frac{\pi}{4} } + i \cdot \sin{\frac{\pi}{4} }\right)$$
Воспользуемся формулой Муавра
$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\lvert z \rvert}\left( \cos{\frac{φ + 2\pi k}{n}} + i \sin{\frac{φ + 2\pi k}{n}} \right)$$
$$n \in N$$
$$n \geq 2$$
$$k \in \left\{0, 1, 2, ..., n-1 \right\}$$
$$n = 2$$, поэтому получим 2 комплексных корня.
При $$k = 0$$
$$z_{1} = \sqrt{2}\left( \cos{\frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0}{2}} + i \sin{\frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0}{2}}\right) = $$$$\sqrt{2} \cdot \left( \cos{\frac{\pi}{8}} + i \sin{\frac{\pi}{8}}\right)$$
При $$k = 1$$
$$z_{2} = \sqrt{2}\left( \cos{\frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1}{2}} + i \sin{\frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1}{2}}\right) = $$$$\sqrt{2} \cdot \left( \cos{\frac{9}{8}\pi} + i \sin{\frac{9}{8}\pi}\right)$$
Главное значение корня
Если значение аргумента комплексного числа является главным, то при вычислении корня n-й степени при $$k = 0$$ будет получено значение главного корня, в примере выше $$z_{1}$$ является главным значение корня. Обратите внимание, калькулятор при извлечении корня из комплексного числа в алгебраической форме вычисляет именно главное значение аргумента и $$z_{1}$$ всегда будет является главным значением корня.