Калькулятор корня из комплексного числа

Ответ$$z_{1} = $$$$$$$$\sqrt{2} \cdot \left( \cos{\frac{\pi}{6}} + i \sin{\frac{\pi}{6}}\right)$$$$$$
$$z_{2} = $$$$$$$$\sqrt{2} \cdot \left( \cos{\frac{7}{6}\pi} + i \sin{\frac{7}{6}\pi}\right)$$$$$$
РешениеПредставим комплексное число в тригонометрической форме.

$$a + bi = \lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$, где
$$\lvert z \rvert\text{ - модуль комплексного числа}$$
$$φ \text{ - аргумент комплексного числа}$$
$$cos, sin\text{ - косинус и синус}$$
$$i\text{ - мнимая единица}$$

---

$$z = 1+\sqrt{3}i$$
$$a = 1$$
$$b = \sqrt{3}$$

---

Найдем модуль $$\lvert z \rvert$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

$$\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = $$$$\sqrt{4}=2$$

---

Найдем аргумент $$φ$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

Так как $$a > 0$$ то $$arg(z) = arctg\left(\frac{b}{a}\right)$$
$$arg(z) = arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} = 1.0471975511966$$$$\text{ радиан}$$

---

Запишем тригонометрическую форму $$\lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

$$z = $$$$2 \cdot \left(\cos{\frac{\pi}{3} } + i \cdot \sin{\frac{\pi}{3} }\right)$$

---

Воспользуемся формулой Муавра

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\lvert z \rvert}\left( \cos{\frac{φ + 2\pi k}{n}} + i \sin{\frac{φ + 2\pi k}{n}} \right)$$
$$n \in N$$
$$n \geq 2$$
$$k \in \left\{0, 1, 2, ..., n-1 \right\}$$

$$n = 2$$, поэтому получим 2 комплексных корней.

$$z_{1} = \sqrt{2}\left( \cos{\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0}{2}} + i \sin{\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0}{2}}\right) = $$$$\sqrt{2} \cdot \left( \cos{\frac{\pi}{6}} + i \sin{\frac{\pi}{6}}\right)$$
$$z_{2} = \sqrt{2}\left( \cos{\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1}{2}} + i \sin{\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1}{2}}\right) = $$$$\sqrt{2} \cdot \left( \cos{\frac{7}{6}\pi} + i \sin{\frac{7}{6}\pi}\right)$$