Калькулятор объема куба по радиусу вписанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус вписанной сферы в куб ($r$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$r =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$V = $$$$27$$$$\,\text{см}^3$$ Решение

Вывод формулы

Объем куба по его стороне $$a$$ равен $$V = a^3$$.

Радиус вписанной сферы $$r$$ равен $$r = \frac{a}{2}$$.

Решим уравнение, выразим из формулы радиуса вписанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = 2r$$
Подставим в уравнение $$V = a^3$$ вместо $$a$$ полученное значение $$2r$$
$$V = \left(2r\right)^3 = 8r^3$$

Объема куба через радиус вписанной сферы вычисляется по формуле:

$$V = 8r^3$$
$$V$$ — объем куба
$$r$$ — радиус вписанной сферы в куб

$$r = \frac{3}{2}\,\text{см}$$
$$V = 8r^3 = 8 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = $$$$27\,\text{см}^3$$

Вычисление объема куба по радиусу вписанной сферы

Сфера считается вписанной в куб, если она касается каждой из его шести граней. В этом случае диаметр сферы в точности совпадает с длиной ребра куба. Такая геометрическая зависимость позволяет вычислить объем куба, используя только данные о радиусе вписанного в него шара, что значительно упрощает анализ пространственных моделей.

Зависимость объема от радиуса вписанной сферы

Связь между этими параметрами описывается прямой математической зависимостью. Поскольку радиус — это половина ребра, итоговая формула позволяет вычислить вместимость куба в одно действие.

$V = 8r^3$

$V$ — объем куба;
$r$ — радиус вписанной сферы;
$8$ — коэффициент, полученный при возведении диаметра в третью степень.

Объем куба через радиус вписанной сферы — Сфера, вписанная в куб.

Математическое обоснование

Вывод формулы строится на замещении значения ребра куба значением радиуса. Это логичный переход от линейного параметра внутренней фигуры к объему внешней.

Алгоритм вывода:

Базовая формула объема куба через его ребро $a$: $V = a^3$.
Радиус вписанной сферы $r$ составляет ровно половину ребра: $r = \dfrac{a}{2}$.
Отсюда следует, что ребро куба в два раза больше радиуса: $a = 2r$.
Подставляем это выражение в формулу объема: $V = (2r)^3$.
При возведении в степень получаем итоговый вид: $V = 8r^3$.

Помощь калькулятора в расчетах

Калькулятор берет на себя вычислительную нагрузку, обеспечивая корректность результата при работе с любыми числовыми данными и единицами измерения.

Преимущества калькулятора:

Конвертация размерностей: Вы можете ввести радиус в $см$, а объем получить в $м^3$ или литрах. Калькулятор автоматически выполнит нужные преобразования.
Точность при возведении в степень: Система исключает случайные ошибки, которые часто возникают при ручном перемножении дробных чисел.
Удобная проверка: Инструмент позволяет сопоставить полученный вами ответ с эталонным, что помогает закрепить понимание темы.

Использование калькулятора наглядно демонстрирует, как компактно вписанная сфера определяет общий объем куба, и помогает быстрее решать задачи по стереометрии.