Калькулятор радиуса вписанной сферы в куб по площади его поверхности

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите площадь поверхности куба ($S$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$S =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$\frac{\sqrt{2304}}{12}=$$$$4$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус вписанной сферы в куб вычисляется по формуле $$r = \frac{a}{2}$$.

Площадь куба равна $$S = 6a^2$$.

Выразим из формулы площади куба значение стороны $$a$$.

$$a = \pm \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{S}}{6}$$
Подставим в уравнение $$r = \frac{a}{2}$$ вместо $$a$$ корень уравнения со знаком плюс $$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{S}}{6}$$
$$r = \frac{\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{S}}{6}}{2} = \frac{\sqrt{6S}}{12}$$

Радиус вписанной сферы в куб через площадь его поверхности вычисляется по формуле:

$$r = \frac{\sqrt{6S}}{12}$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в куб
$$S$$ — площадь поверхности куба

$$S = 384\,\text{см}^2$$

$$r = \frac{\sqrt{6S}}{12} = \frac{\sqrt{6 \cdot 384}}{12} = $$$$\frac{\sqrt{2304}}{12}=4\,\text{см}$$

Радиус вписанной сферы через площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба и радиус вписанной в него сферы находятся в строгой математической зависимости. Поскольку площадь поверхности определяется исключительно длиной ребра куба, а сфера касается всех его граней, можно вычислить параметры вписанного тела, зная только общую площадь внешних граней многогранника. Наш калькулятор позволяет выполнить этот расчет мгновенно и с высокой точностью.

Геометрическая связь параметров

Вписанная сфера касается центров каждой из шести граней куба. Это означает, что её диаметр в точности равен длине ребра куба, а радиус — половине этого ребра. Зная полную площадь поверхности куба, мы можем сначала определить размеры его граней, а затем вычислить радиус сферы, которая идеально «вписана» в этот объем.

Формула вычисления

Для прямого нахождения радиуса вписанной сферы $r$ на основании площади поверхности $S$ используется формула, полученная путем комбинирования уравнений площади и линейных размеров куба:

$$r = \dfrac{\sqrt{6S}}{12}$$

$r$ — радиус вписанной в куб сферы;
$S$ — полная площадь поверхности куба;
$\sqrt{6}$ — математический коэффициент, возникающий при преобразовании формул.

Математическое обоснование

Вывод итоговой формулы основан на исключении промежуточной переменной — длины ребра куба.

Логика вывода формулы:

Базовая формула радиуса вписанной сферы: $r = \dfrac{a}{2}$, где $a$ — ребро куба.
Площадь полной поверхности куба: $S = 6a^2$. Из этой формулы выражаем ребро: $a = \dfrac{\sqrt{6S}}{6}$.
Подставляем полученное значение ребра в формулу радиуса: $r = \dfrac{\frac{\sqrt{6S}}{6}}{2} = \dfrac{\sqrt{6S}}{12}$.

Калькулятор использует данное соотношение для вычислений, что позволяет избежать поэтапного извлечения корней и деления вручную. Программный метод обеспечивает точность результата, работая с иррациональными выражениями без лишних округлений на промежуточных этапах решения.