Калькулятор радиуса вписанной сферы в куб по его объему

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите объем куба ($V$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$V =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$\frac{\sqrt[3]{700}}{2}=$$$$4.439520008713$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус вписанной сферы в куб вычисляется по формуле $$r = \frac{a}{2}$$.

Объем куба равен $$V = a^3$$.

Выразим из формулы объема куба значение стороны $$a$$.

$$a = \sqrt[3]{V}$$

Подставим в выражение $$r = \frac{a}{2}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\sqrt[3]{V}$$

$$r = \frac{\sqrt[3]{V}}{2}$$

Радиус вписанной сферы в куб через его объем вычисляется по формуле:

$$r = \frac{\sqrt[3]{V}}{2}$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в куб
$$V$$ — объем куба

$$V = 700\,\text{см}^3$$

$$r = \frac{\sqrt[3]{V}}{2} = \frac{\sqrt[3]{700}}{2} = $$$$\frac{\sqrt[3]{700}}{2}=4.439520008713\,\text{см}$$

Радиус вписанной сферы через объем куба

Связь между объемом куба и радиусом вписанной в него сферы является фундаментальной для стереометрии.

Поскольку объем куба зависит исключительно от длины его ребра, а вписанная сфера ограничена его гранями, можно вычислить параметры сферы, зная лишь вместимость или объем многогранника. Наш калькулятор позволяет выполнить этот расчет, преобразуя объемные единицы в линейные характеристики сферы.

Геометрическая связь объема и радиуса

Вписанная сфера касается всех шести граней куба, что делает её диаметр равным стороне (ребру) куба. Объем же куба представляет собой длину ребра, возведенную в третью степень. Таким образом, путь от объема к радиусу лежит через нахождение линейного размера ребра.

Формула вычисления

Для прямого вычисления радиуса вписанной сферы $r$ на основе известного объема $V$ используется формула, включающая извлечение корня третьей степени:

$$r = \dfrac{\sqrt[3]{V}}{2}$$

$r$ — радиус вписанной в куб сферы;
$V$ — объем куба;
$\sqrt[3]{V}$ — корень третьей степени из объема (длина ребра).

Математическое обоснование

Логика вывода формулы в калькуляторе строится на последовательном нахождении параметров многогранника:

Этапы преобразования:

Сначала из формулы объема $V = a^3$ находится ребро куба: $a = \sqrt[3]{V}$.
Затем используется базовое свойство вписанной сферы, согласно которому её радиус составляет половину ребра: $r = \dfrac{a}{2}$.
Подставляя значение ребра, получаем итоговое выражение: $r = \dfrac{\sqrt[3]{V}}{2}$.

Калькулятор автоматически выполняет извлечение кубического корня и последующее деление, что обеспечивает высокую точность. Это избавляет от необходимости проводить сложные вычисления вручную, особенно когда объем куба выражен дробным числом.