Калькулятор высоты правильного тетраэдра по радиусу описанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус описанной сферы около тетраэдра ($R$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$R =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$h = $$$$\frac{4}{3}\cdot\sqrt{13}=$$$$4.80740170061865$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Высота тетраэдра вычисляется по формуле $$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$.

Радиус описанной сферы около тетраэдра равен $$R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$$.

Выразим из формулы радиуса описанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{2\sqrt{6}R}{3}$$
Подставим в выражение $$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{2\sqrt{6}R}{3}$$

$$h = \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{6}R}{3} = \frac{4R}{3}$$

Высота правильного тетраэдра через радиус описанной сферы вычисляется по формуле:

$$h = \frac{4R}{3}$$
$$h$$ — высота правильного тетраэдра
$$R$$ — радиус описанной сферы около тетраэдра

$$R = \sqrt{13}\,\text{см}$$
$$h = \frac{4R}{3} = \frac{4 \cdot \sqrt{13}}{3} = $$$$\frac{4}{3}\cdot\sqrt{13}=4.80740170061865\,\text{см}$$

Вычисление высоты правильного тетраэдра по радиусу описанной сферы

Описанной около правильного тетраэдра называется сфера, поверхность которой проходит через все четыре его вершины. Центр такой сферы является точкой, равноудаленной от углов фигуры, и всегда располагается на её высоте. Геометрические свойства тетраэдра устанавливают фиксированную пропорцию между его вертикальным размером и радиусом внешней сферы, что позволяет вычислить высоту через один известный параметр.

Взаимосвязь высоты и радиуса описанной сферы

Для определения высоты используется линейная зависимость, основанная на положении центра сферы внутри фигуры. Эта формула удобна тем, что позволяет найти искомый результат напрямую, минуя расчет длины ребра.

$h = \dfrac{4R}{3}$

$h$ — высота правильного тетраэдра;
$R$ — радиус описанной сферы;
$\dfrac{4}{3}$ — постоянный коэффициент соотношения величин.

Высота правильного тетраэдра через радиус описанной сферы — Правильный тетраэдр.

Математическое обоснование

Вывод формулы строится на совмещении уравнений высоты и радиуса, выраженных через длину ребра $a$. Итоговое выражение получается путем сокращения промежуточных иррациональных значений.

Алгоритм вывода формулы:

Записывается базовая формула высоты через ребро: $h = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$.
Определяется связь радиуса описанной сферы с ребром: $R = \dfrac{\sqrt{6}}{4}a$.
Из уравнения радиуса выражается длина ребра: $a = \dfrac{2\sqrt{6}R}{3}$.
Данное значение подставляется в исходную формулу высоты, что после упрощения дает итоговый вид: $h = \dfrac{4R}{3}$.

Работа с калькулятором

Калькулятор автоматизирует процесс вычисления, исключая необходимость вручную оперировать дробями и иррациональными числами. Инструмент обеспечивает точность результата при любых входных данных.

Возможности калькулятора:

Поддержка работы со всеми основными метрическими единицами: $мм$, $см$, $дм$, $м$ и $км$.
Автоматическое преобразование размерностей, если единицы измерения радиуса и искомой высоты не совпадают.
Сохранение высокой точности вычислений за счет правильной обработки коэффициентов формулы.

Использование данного калькулятора позволяет быстро сопоставить параметры правильного тетраэдра и его описанной сферы, что значительно упрощает решение задач по стереометрии.