Калькулятор радиуса описанной сферы около куба по площади его поверхности

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите площадь поверхности куба ($S$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$S =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$R = $$$$\frac{\sqrt{740}}{4}=$$$$6.80073525436772$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус описанной сферы около куба вычисляется по формуле $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$.

Площадь куба равна $$S = 6a^2$$.

Выразим из формулы площади куба значение стороны $$a$$.

$$a = \pm \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{S}}{6}$$
Подставим в уравнение $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$ вместо $$a$$ корень уравнения со знаком плюс $$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{S}}{6}$$
$$R = \frac{\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{S}}{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2S}}{4}$$

Радиус описанной сферы около куба через площадь его поверхности вычисляется по формуле:

$$R = \frac{\sqrt{2S}}{4}$$
$$R$$ — радиус описанной сферы около куба
$$S$$ — площадь поверхности куба

$$S = 370\,\text{см}^2$$
$$R = \frac{\sqrt{2S}}{4} = \frac{\sqrt{2 \cdot 370}}{4} = $$$$\frac{\sqrt{740}}{4}=6.80073525436772\,\text{см}$$

Радиус описанной сферы через площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба и радиус описанной вокруг него сферы взаимосвязаны через геометрические параметры ребра многогранника.

Описанная сфера касается всех восьми вершин куба, и её размер напрямую зависит от того, какую площадь занимают грани фигуры. Наш калькулятор позволяет вычислить радиус описанной сферы $R$, основываясь на значении полной площади поверхности куба $S$.

Геометрическая связь параметров

Для нахождения радиуса описанной сферы через площадь необходимо учитывать, что вся поверхность куба состоит из шести равных квадратов. Зная общую площадь, можно определить длину ребра, которая, в свою очередь, является основой для расчета пространственной диагонали. Поскольку радиус описанной сферы равен половине этой диагонали, между площадью и радиусом существует строгая аналитическая зависимость.

Формула вычисления

Для прямого перехода от площади поверхности $S$ к радиусу описанной сферы $R$ применяется компактная формула, полученная в ходе упрощения иррациональных выражений:

$$R = \dfrac{\sqrt{2S}}{4}$$

$R$ — радиус описанной сферы около куба;
$S$ — полная площадь поверхности куба;
$\sqrt{2S}$ — квадратный корень из удвоенного значения площади.

Математическое обоснование

Вывод итоговой формулы, используемой в калькуляторе, базируется на последовательном исключении переменной ребра куба $a$:

Логика вывода формулы:

Базовая формула радиуса описанной сферы: $R = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Формула площади поверхности куба: $S = 6a^2$. Из неё выражаем ребро: $a = \dfrac{\sqrt{6S}}{6}$.
Подставляем выражение для ребра в формулу радиуса: $$R = \dfrac{\dfrac{\sqrt{6S}}{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{18S}}{12} = \dfrac{3\sqrt{2S}}{12} = \dfrac{\sqrt{2S}}{4}$$

Калькулятор автоматически выполняет все преобразования, включая работу с подкоренными выражениями. Это обеспечивает высокую точность финального результата и избавляет от необходимости проводить многоэтапные вычисления вручную, минимизируя риск ошибок при округлении промежуточных данных.