Калькулятор объема правильного тетраэдра по радиусу вписанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус вписанной сферы в тетраэдр ($r$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$r =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$V = $$$$\frac{8}{343}\cdot\sqrt{3}=$$$$0.0403976864739097$$$$\,\text{см}^3$$Решение

Вывод формулы

Объем тетраэдра вычисляется по формуле $$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$$.

Радиус вписанной сферы в тетраэдр равен $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$.

Выразим из формулы радиуса вписанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = 2\sqrt{6}r$$
Подставим в выражение $$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$$ вместо $$a$$ полученное значение $$2\sqrt{6}r$$

$$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot \left(2\sqrt{6}r\right)^3 = 8\sqrt{3}r^3$$

Объем правильного тетраэдра по радиусу вписанной в него сферы вычисляется по формуле:

$$V = 8\sqrt{3}r^3$$
$$V$$ — объем правильного тетраэдра
$$r$$ — радиус вписанной сферы

$$r = \frac{1}{7}\,\text{см}$$
$$V = 8\sqrt{3}r^3 = 8\cdot\sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{7}\right)^3 = $$$$\frac{8}{343}\cdot\sqrt{3}=0.0403976864739097\,\text{см}^3$$

Вычисление объема правильного тетраэдра по радиусу вписанной сферы

Вписанной в правильный тетраэдр называется сфера, которая касается всех четырех его граней. В силу симметрии данной фигуры, радиус такой сферы жестко связан с линейными размерами и объемом многогранника. Если известен радиус вписанной сферы, это позволяет определить объем тетраэдра без необходимости отдельно вычислять длину его ребра. Данная зависимость часто применяется в стереометрии при изучении свойств вписанных тел.

Взаимосвязь объема и радиуса вписанной сферы

Для перехода от радиуса сферы к кубическим единицам объема используется формула, учитывающая пространственные коэффициенты правильного тетраэдра. Это позволяет найти искомую вместимость напрямую, основываясь на внутреннем параметре фигуры.

$V = 8\sqrt{3}r^3$

$V$ — объем правильного тетраэдра;
$r$ — радиус вписанной сферы;
$8\sqrt{3}$ — итоговый коэффициент, связывающий объем и радиус сферы.

Геометрическое представление правильного тетраэдра.

Математическое обоснование

Вывод расчетной зависимости строится на исключении переменной ребра $a$ из классических формул объема и радиуса вписанной сферы. Процесс основан на алгебраическом упрощении иррациональных множителей.

Алгоритм вывода формулы:

Записываются базовые зависимости: объем $V = \dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$ и радиус сферы $r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.
Из формулы радиуса выражается ребро тетраэдра: $a = 2\sqrt{6}r$.
Полученное выражение подставляется в формулу объема вместо переменной $a$.
После возведения в куб и упрощения произведения корней $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{3}$ выводится окончательный вид формулы: $V = 8\sqrt{3}r^3$.

Работа с калькулятором

Калькулятор автоматизирует процесс возведения в степень и работу с корнями, обеспечивая точность результата и исключая вычислительные ошибки при работе с дробными значениями.

Возможности инструмента:

Нахождение объема правильного тетраэдра на основе введенного радиуса в $мм$, $см$, $дм$, $м$ или $км$.
Автоматическое преобразование размерностей, если единицы радиуса и искомого объема не совпадают.
Обеспечение высокой точности за счет корректной обработки иррациональных коэффициентов в алгоритме.

Использование данного калькулятора упрощает анализ геометрических свойств правильного тетраэдра и помогает быстро сопоставить параметры вписанной сферы с его объемом.