Калькулятор радиуса описанной сферы около куба по его объему

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите объем куба ($V$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$V =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$R = $$$$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{420}=$$$$6.48555373303104$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус описанной сферы около куба вычисляется по формуле $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$.

Объем куба равен $$V = a^3$$.

Выразим из формулы объема куба значение стороны $$a$$.

$$a = \sqrt[3]{V}$$

Подставим в выражение $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\sqrt[3]{V}$$

$$R = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{V} }{2}$$

Радиус описанной сферы около куба через его объем вычисляется по формуле:

$$R = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{V} }{2}$$
$$R$$ — радиус описанной сферы около куба
$$V$$ — объем куба

$$V = 420\,\text{см}^3$$

$$R = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{V} }{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{420} }{2} = $$$$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{420}=6.48555373303104\,\text{см}$$

Вычисление радиуса описанной сферы куба по его объему

Как связаны куб и описанная сфера

Описанной называется такая сфера, на поверхности которой лежат все вершины куба. Главное, что нужно знать: центр этой сферы находится точно в центре куба, а её диаметр равен главной диагонали. Это значит, что если нам известен объем куба, мы легко можем вычислить его сторону, а через неё — и радиус сферы.

$R = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{V}}{2}$

$R$ — радиус описанной сферы;
$V$ — объем куба;
$\sqrt[3]{V}$ — сторона куба $a$, полученная из его объема;
$\sqrt{3}$ — коэффициент для связи стороны куба с его диагональю.

Схема куба и описанной сферы — Рис. $1.1$. Куб, вписанный в сферу.

Откуда берется формула

Вывод формулы строится на логическом переходе от объема к линейным размерам. Мы действуем в два шага: сначала находим сторону куба, а затем вычисляем радиус.

Пошаговый вывод:

Вспоминаем, что объем куба — это его ребро в кубе: $V = a^3$.
Отсюда выражаем сторону куба: $a = \sqrt[3]{V}$.
Радиус описанной сферы всегда равен половине диагонали куба: $R = \dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значение $a$ из второго шага и получаем итоговую формулу: $R = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{V}}{2}$.

Как работает калькулятор

Калькулятор берет на себя всю сложную математику и следит за единицами измерения. Вам не нужно пересчитывать значения вручную, если данные даны в разных величинах.

Как происходит расчет:

Учет единиц измерения: Вы можете ввести объем в любых единицах (например, в $мм^3$ или $м^3$).
Автоматическая конвертация: Если вы подали на вход объем в $дм^3$, а результат хотите получить в метрах, калькулятор сам переведет значения по правилам метрической системы.
Точный результат: Программа извлекает корень третьей степени, умножает его на коэффициент и выдает готовый ответ в выбранных вами единицах измерения (от $мм$ до $км$).

Это избавляет от путаницы с нулями при переводе кубических величин в линейные и гарантирует правильный результат.