Калькулятор радиуса описанной сферы около куба по длине его диагонали

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите длину диагонали куба ($d$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$d =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$R = $$$$\frac{1}{10}=$$$$0.1$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус описанной сферы около куба вычисляется по формуле $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$.

Диагональ куба равна $$d = a\sqrt{3}$$.

Выразим из формулы диагонали куба значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{\sqrt{3}d}{3}$$
Подставим в выражение $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{\sqrt{3}d}{3}$$

$$R = \frac{\frac{\sqrt{3}d}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{d}{2}$$

Радиус описанной сферы около куба через длину его диагонали вычисляется по формуле:

$$R = \frac{d}{2}$$
$$R$$ — радиус описанной сферы около куба
$$d$$ — пространственная диагональ куба

$$d = \frac{1}{5}\,\text{см}$$
$$R = \frac{d}{2} =\frac{\frac{1}{5}}{2} = $$$$\frac{1}{10}=0.1\,\text{см}$$

Радиус описанной сферы через диагональ куба

Нахождение радиуса описанной сферы через пространственную диагональ куба — это одна из самых прямолинейных задач в стереометрии. Поскольку описанная сфера проходит через все вершины куба, её параметры неразрывно связаны с его внутренними размерами. Наш калькулятор позволяет вычислить радиус сферы, если известна длина самой длинной линии внутри куба — его диагонали.

Геометрическая связь параметров

Описанная сфера касается всех восьми вершин куба. Центр этой сферы совпадает с центром куба, который является точкой пересечения всех его пространственных диагоналей. Таким образом, любая пространственная диагональ куба является диаметром описанной вокруг него сферы. Из этого следует, что радиус такой сферы всегда составляет ровно половину диагонали куба.

Формула вычисления

Для прямого расчета радиуса описанной сферы $R$ на основе известной диагонали $d$ используется максимально простая линейная зависимость:

$$R = \dfrac{d}{2}$$

$R$ — радиус описанной около куба сферы;
$d$ — пространственная диагональ куба.

Математическое обоснование

Несмотря на простоту итоговой формулы, её можно вывести аналитически через длину ребра куба $a$.

Логика вывода формулы:

Базовая формула радиуса описанной сферы: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Связь диагонали и ребра: $d = a\sqrt{3}$, откуда выражаем ребро: $a = \dfrac{\sqrt{3}d}{3}$.
Подставляем значение $a$ в формулу радиуса: $R = \dfrac{\frac{\sqrt{3}d}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3d}{3 \cdot 2} = \dfrac{d}{2}$.

Калькулятор использует это соотношение, что позволяет получить результат в одно действие. Программный расчет особенно удобен, когда диагональ представлена в виде обыкновенной дроби или иррационального числа, так как система сохраняет точность вычислений до финального ответа.