Калькулятор радиуса описанной сферы около тетраэдра по его высоте

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите высоту правильного тетраэдра ($h$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$h =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$R = $$$$18$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус описанной сферы около тетраэдра вычисляется по формуле $$R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$$.

Высота тетраэдра равена $$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$.

Выразим из формулы высоты тетраэдра значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{\sqrt{6}h}{2}$$
Подставим в выражение $$R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{\sqrt{6}h}{2}$$

$$R = \frac{\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}h}{2} = \frac{3h}{4}$$

Радиус описанной сферы около правильного тетраэдра через его высоту вычисляется по формуле:

$$R = \frac{3h}{4}$$
$$R$$ — радиус описанной сферы около правильного тетраэдра
$$h$$ — высота правильного тетраэдра

$$h = 24\,\text{см}$$
$$R = \frac{3h}{4} = \frac{3\cdot 24}{4} = $$$$18\,\text{см}$$

Вычисление радиуса описанной сферы около тетраэдра по его высоте

В правильном тетраэдре радиус описанной сферы и его высота неразрывно связаны через геометрический центр фигуры. Описанная сфера проходит через все вершины тетраэдра, а её центр всегда лежит на его высоте. Согласно свойствам этого многогранника, радиус описанной сферы составляет фиксированную часть от общей высоты, что позволяет проводить расчеты без использования длины ребра.

Взаимосвязь радиуса и высоты

Для определения радиуса описанной сферы используется прямая линейная зависимость. Поскольку центр сферы делит высоту в строгой пропорции, формула получается максимально простой и не содержит иррациональных множителей.

$R = \dfrac{3h}{4}$

$R$ — радиус описанной сферы;
$h$ — высота правильного тетраэдра;
$3/4$ — коэффициент, определяющий долю радиуса от общей высоты фигуры.

Радиус описанной сферы через высоту тетраэдра — Высота правильного тетраэдра.

Математическое обоснование

Вывод расчетной зависимости строится на совмещении формул радиуса и высоты через длину ребра $a$. При подстановке одного значения в другое иррациональные множители сокращаются, оставляя простую дробную зависимость.

Алгоритм вывода формулы:

Радиус описанной сферы выражается через ребро как $R = \dfrac{\sqrt{6}}{4}a$.
Высота тетраэдра через ребро определяется формулой $h = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$.
Если выразить ребро из формулы высоты и подставить его в выражение для радиуса, после упрощения получается итоговый вид: $R = \dfrac{3h}{4}$.

Работа с калькулятором

Калькулятор помогает автоматизировать расчеты, обеспечивая точность результата и удобство работы с различными метрическими величинами.

Возможности инструмента:

Нахождение радиуса описанной сферы на основе введенного значения высоты в $мм$, $см$, $дм$, $м$ или $км$.
Автоматическое преобразование размерностей, если единицы измерения высоты и искомого радиуса не совпадают.
Исключение вычислительных ошибок, возможных при ручном делении и умножении дробных чисел.

Использование данного калькулятора позволяет быстро сопоставить ключевые параметры правильного тетраэдра, что упрощает проверку теоретических задач и проведение проектных расчетов.