Калькулятор радиуса вписанной сферы в куб по радиусу описанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус описанной сферы ($R$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$R =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$3.42195504548691$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус вписанной сферы в куб вычисляется по формуле $$r = \frac{a}{2}$$.

Радиус описанной сферы около куба равен $$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$.

Выразим из формулы радиуса описанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$$
Подставим в выражение $$r = \frac{a}{2}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$$

$$r = \frac{\frac{2\sqrt{3}R}{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}R}{3}$$

Радиус вписанной сферы в куб по радиусу описанной сферы вычисляется по формуле:

$$r = \frac{\sqrt{3}R}{3}$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в куб
$$R$$ — радиус описанной сферы около куба

$$R = 5.927\,\text{см}$$

$$r = \frac{\sqrt{3}R}{3} = \frac{\sqrt{3}\cdot 5.927}{3} = $$$$3.42195504548691\,\text{см}$$

Радиус вписанной сферы через радиус описанной сферы

В геометрии куба существует строгое математическое соотношение между двумя типами сфер: вписанной, которая касается центров граней, и описанной, проходящей через все вершины многогранника.

Зная радиус одной из этих сфер, можно однозначно определить параметры другой. Наш калькулятор позволяет вычислить радиус вписанной сферы, основываясь на значении радиуса описанной сферы.

Геометрическая взаимосвязь сфер куба

Центры вписанной и описанной сфер куба совпадают и находятся в точке пересечения его пространственных диагоналей. Различие заключается в том, что радиус вписанной сферы $r$ равен половине ребра куба, а радиус описанной сферы $R$ — половине его пространственной диагонали. Поскольку эти линейные параметры куба связаны коэффициентом $\sqrt{3}$, радиусы сфер также находятся в прямой зависимости друг от друга.

Формула вычисления

Для перехода от радиуса описанной сферы $R$ к радиусу вписанной сферы $r$ используется формула, полученная путем исключения переменной длины ребра из расчетов:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}R}{3}$$

$r$ — радиус вписанной сферы в куб;
$R$ — радиус описанной сферы около куба;
$\sqrt{3}$ — константа связи параметров куба.

Математическое обоснование

Логика вывода формулы, реализованная в калькуляторе, базируется на следующих этапах:

Этапы вывода итоговой формулы:

Базовая связь ребра $a$ и вписанного радиуса: $r = \dfrac{a}{2}$.
Связь ребра $a$ и описанного радиуса: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Выражение ребра куба из формулы описанной сферы: $a = \dfrac{2\sqrt{3}R}{3}$.
Подстановка значения $a$ в формулу вписанной сферы: $r = \dfrac{\frac{2\sqrt{3}R}{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}R}{3}$.

Калькулятор производит расчет по данной зависимости, что позволяет пользователю избежать промежуточных вычислений стороны куба. Программный алгоритм обеспечивает точность результата, работая с иррациональными числами без избыточных округлений на средних этапах решения.