Аргумент комплексного числа: определение и расчет
Аргумент является ключевой характеристикой комплексного числа, определяющей его направление на комплексной плоскости. Вместе с модулем он позволяет однозначно задать положение точки и перейти от алгебраической формы записи к тригонометрической или показательной.
Геометрический смысл аргумента
Аргумент комплексного числа $z$ представляет собой угол $\varphi$ между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью.
Визуализация угла $\varphi$ на комплексной плоскости для числа $z = a + bi$
Любое ненулевое комплексное число имеет бесконечное множество значений аргумента. Все они отличаются друг от друга на $2\pi k$, где $k$ — целое число, означающее количество полных оборотов. Важно помнить, что для числа $z = 0$ значение аргумента не определено, так как радиус-вектор в этом случае имеет нулевую длину и не указывает направление.
Главное значение аргумента
Чтобы избежать многозначности при расчетах, математики ввели понятие главного значения аргумента, которое обычно обозначается как $arg(z)$.
Главное значение аргумента $arg(z)$ ограничено диапазоном: оно должно быть больше $-180^{\circ}$ ($-\pi$ радиан) и меньше либо равно $180^{\circ}$ ($\pi$ радиан).
Формулы для вычисления
Способ нахождения угла $\varphi$ напрямую зависит от того, в какой координатной четверти находится точка, то есть от знаков вещественной части $a$ и мнимой части $b$.
$$arg(z) = \text{arctg}\left(\frac{b}{a}\right), \text{ если } a > 0$$
$$arg(z) = \text{arctg}\left(\frac{b}{a}\right) + \pi, \text{ если } a < 0, b \ge 0$$
$$arg(z) = \text{arctg}\left(\frac{b}{a}\right) - \pi, \text{ если } a < 0, b < 0$$
$$arg(z) = \frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b > 0$$
$$arg(z) = -\frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b < 0$$
- $\text{arctg}$ — функция арктангенса;
- $a$ — координата по вещественной оси;
- $b$ — координата по мнимой оси.
Зачем нужно знать аргумент?
Нахождение аргумента необходимо для выполнения сложных математических операций. Без него невозможно представить число в виде $z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ или возвести комплексное число в высокую степень по формуле Муавра.
Наш калькулятор автоматически определяет четверть, в которой находится число, и применяет нужную формулу арктангенса с учетом знаков. Это гарантирует получение правильного главного значения аргумента как в радианах, так и в градусах.