Калькулятор диагонали куба по радиусу вписанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус вписанной сферы в куб ($r$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$r =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$d = $$$$\frac{4}{5}\cdot\sqrt{3}=$$$$1.3856406460551$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Диагональ куба вычисляется по формуле $$d = a\sqrt{3}$$.

Радиус вписанной сферы в куб равен $$r = \frac{a}{2}$$.

Выразим из формулы радиуса вписанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = 2r$$
Подставим в выражение $$d = a\sqrt{3}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$2r$$

$$d = 2r\sqrt{3} = 2\sqrt{3}r$$

Диагональ куба по радиусу вписанной сферы вычисляется по формуле:

$$d = 2\sqrt{3}r$$
$$d$$ — пространственная диагональ куба
$$r$$ — радиус вписанной сферы в куб

$$r = \frac{2}{5}\,\text{см}$$
$$d = 2\sqrt{3}r = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{5} = $$$$\frac{4}{5}\cdot\sqrt{3}=1.3856406460551\,\text{см}$$

Диагональ куба через радиус вписанной сферы

Взаимосвязь между кубом и вписанной в него сферой позволяет находить пространственные характеристики фигуры, обладая минимальным набором данных. Поскольку вписанная сфера касается всех граней куба, её параметры жестко ограничены размерами самого многогранника. Наш калькулятор позволяет вычислить длину диагонали куба, используя значение радиуса вписанной в него сферы.

Геометрическая связь куба и вписанной сферы

Вписанная в куб сфера касается центров всех шести его граней. Из этого следует важная геометрическая закономерность: диаметр такой сферы в точности равен длине ребра куба. Это соотношение является ключевым для вывода формулы пространственной диагонали.

Формула вычисления

Для нахождения диагонали $d$ через радиус вписанной сферы $r$ используется комбинированная формула. Она объединяет зависимость диагонали от ребра ($d = a\sqrt{3}$) и зависимость ребра от радиуса сферы ($a = 2r$).

$$d = 2\sqrt{3}r$$

$d$ — пространственная диагональ куба;
$r$ — радиус вписанной сферы;
$\sqrt{3}$ — математическая константа ($\approx 1.732$).

Алгоритм вывода и расчета

Логическая последовательность вычислений:

Сначала определяется длина ребра куба $a$, которая в два раза больше радиуса вписанной сферы: $a = 2r$.
Затем полученное значение подставляется в классическую формулу диагонали: $d = a\sqrt{3}$.
Итоговая формула принимает вид: $d = 2 \cdot r \cdot \sqrt{3}$.

Калькулятор выполняет преобразование радиуса в длину диагонали, учитывая иррациональные коэффициенты. Программный расчет исключает накопление ошибок при промежуточных вычислениях и округлениях, обеспечивая математическую точность результата на основе введенного значения $r$.