Калькулятор диагонали куба по радиусу описанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус описанной сферы ($R$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$R =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$d = $$$$2\cdot\sqrt{2}=$$$$2.82842712474619$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Диагональ куба вычисляется по формуле $$d = a\sqrt{3}$$.

Радиус описанной сферы около куба $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$.

Выразим из формулы радиуса описанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$$
Подставим в выражение $$d = a\sqrt{3}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$$

$$d = \left(\frac{2\sqrt{3}R}{3} \right)\cdot\sqrt{3} = 2R$$

Диагональ куба по радиусу описанной сферы вычисляется по формуле:

$$d = 2R$$
$$d$$ — пространственная диагональ куба
$$R$$ — радиус описанной сферы около куба

$$R = \sqrt{2}\,\text{см}$$
$$d = 2R = 2\cdot \sqrt{2} = $$$$2\cdot\sqrt{2}=2.82842712474619\,\text{см}$$

Диагональ куба через радиус описанной сферы

Описанная сфера — это сфера, на поверхности которой лежат все восемь вершин куба. Геометрическая связь между этими фигурами позволяет максимально просто вычислить пространственную диагональ куба, так как центр сферы совпадает с центром симметрии многогранника. Наш калькулятор выполняет расчет диагонали, основываясь на значении радиуса описанной сферы.

Геометрическая связь куба и описанной сферы

В отличие от вписанной сферы, диаметр описанной сферы соответствует самому длинному расстоянию внутри куба — его пространственной диагонали. Поскольку любая вершина куба удалена от его центра на расстояние радиуса $R$, то расстояние между двумя противоположными вершинами (диагональ $d$) в точности равно двум таким радиусам.

Формула вычисления

Несмотря на то что классический расчет диагонали идет через ребро куба ($d = a\sqrt{3}$), при известном радиусе описанной сферы формула значительно упрощается и принимает линейный вид.

$$d = 2R$$

$d$ — пространственная диагональ куба;
$R$ — радиус описанной сферы около куба.

Математическое обоснование

Логика вывода данной формулы строится на последовательном выражении параметров куба через радиус $R$.

Вывод итогового равенства:

Радиус описанной сферы выражается через ребро куба $a$ как $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда длина ребра куба составляет $a = \dfrac{2\sqrt{3}R}{3}$.
Подставляя значение $a$ в формулу диагонали $d = a\sqrt{3}$, получаем: $d = \left(\dfrac{2\sqrt{3}R}{3}\right) \cdot \sqrt{3} = 2R$.

Калькулятор использует данное соотношение для мгновенного нахождения результата. Программный расчет позволяет получить точное значение диагонали, исключая необходимость промежуточных вычислений длины ребра и работы с иррациональными числами вручную.