Калькулятор радиуса вписанной сферы в тетраэдр по его объему

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите объем правильного тетраэдра ($V$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$V =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$\frac{1}{6}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{81\cdot\sqrt{3}}=$$$$1.5$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус вписанной сферы в тетраэдр вычисляется по формуле $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$.

Объем тетраэдра равен $$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$$.

Выразим из формулы объема тетраэдра значение стороны $$a$$.

$$a = \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3V}$$
Подставим в выражение $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3V}$$

$$r = \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3V} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3V}}{6}$$

Радиус вписанной сферы в правильный тетраэдр по заданному значению его объема вычисляется по формуле:

$$r = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3V}}{6}$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в тетраэдр
$$V$$ — объем правильного тетраэдра

$$V = 27\cdot\sqrt{3}\,\text{см}^3$$
$$r = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3V}}{6} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3 \cdot 27\cdot\sqrt{3}}}{6} = $$$$\frac{1}{6}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{81\cdot\sqrt{3}}=1.5\,\text{см}$$

Вычисление радиуса вписанной сферы в тетраэдр по его объему

В правильном тетраэдре объем и радиус вписанной сферы находятся в строгой математической зависимости. Сфера касается центров всех граней фигуры, и её размер определяется тем, какое пространство занимает сам тетраэдр. Если известен объем этого многогранника, можно вычислить радиус вписанной в него сферы, не прибегая к отдельному поиску длины ребра.

Взаимосвязь радиуса сферы и объема

Для перехода от объемных единиц к линейному радиусу используется формула, сочетающая извлечение корня третьей степени и иррациональные коэффициенты. Это позволяет связать вместимость фигуры с параметрами её внутреннего пространства.

$r = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3V}}{6}$

$r$ — радиус вписанной сферы;
$V$ — объем правильного тетраэдра;
$\sqrt[3]{3V}$ — корень третьей степени из утроенного объема;
$\sqrt{3}$ — коэффициент, обусловленный геометрией правильной пирамиды.

Радиус вписанной сферы в тетраэдр — Схематичное изображение правильного тетраэдра.

Математическое обоснование

Вывод итогового выражения строится на совмещении формул объема и радиуса через общую величину — ребро $a$. Процесс включает в себя алгебраическое упрощение корней для получения компактного вида.

Этапы вывода формулы:

Записываются базовые зависимости: объем $V = \dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$ и радиус сферы $r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.
Из формулы объема выражается длина ребра: $a = \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3V}$.
Полученное значение подставляется в формулу радиуса вместо переменной $a$.
После упрощения произведения $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}$ и сокращения дроби выводится окончательная формула: $r = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3V}}{6}$.

Работа с калькулятором

Вычисления с корнями разных степеней требуют точности, которую сложно обеспечить при ручном счете. Калькулятор помогает автоматизировать этот процесс и избежать накопления ошибок округления.

Возможности инструмента:

Нахождение радиуса вписанной сферы на основе введенного объема в кубических единицах ($мм^3$, $см^3$, $дм^3$, $м^3$, $км^3$).
Автоматическое преобразование размерностей, если объем указан в одних единицах, а результат требуется получить в других.
Точная обработка иррациональных множителей для получения корректного геометрического результата.

Использование данного калькулятора упрощает решение стереометрических задач и позволяет быстро сопоставить объемные и линейные характеристики правильного тетраэдра.