Калькулятор радиуса вписанной сферы в куб по длине его диагонали

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите длину диагонали куба ($d$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$d =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$\frac{\sqrt{3}}{42}=$$$$0.0412393049421161$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус вписанной сферы в куб вычисляется по формуле $$r = \frac{a}{2}$$.

Диагональ куба равна $$d = a\sqrt{3}$$.

Выразим из формулы длины диагонали куба значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{\sqrt{3}d}{3}$$
Подставим в выражение $$r = \frac{a}{2}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{\sqrt{3}d}{3}$$

$$r = \frac{\frac{\sqrt{3}d}{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}d}{6}$$

Радиус вписанной сферы в куб по длине его диагонали вычисляется по формуле:

$$r = \frac{\sqrt{3}d}{6}$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в куб
$$d$$ — пространственная диагональ куба

$$d = \frac{1}{7}\,\text{см}$$

$$r = \frac{\sqrt{3}d}{6} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{1}{7}}{6} = $$$$\frac{\sqrt{3}}{42}=0.0412393049421161\,\text{см}$$

Радиус вписанной сферы в куб через его диагональ

Нахождение радиуса вписанной сферы через пространственную диагональ куба — это классическая задача стереометрии, требующая понимания связи между линейными элементами многогранника и вписанных в него тел. Поскольку диагональ и радиус зависят от длины ребра, между ними существует строгая математическая зависимость. Наш калькулятор позволяет вычислить радиус сферы, обладая данными только о длине диагонали куба.

Геометрическая связь параметров

Вписанная сфера касается всех граней куба, поэтому её диаметр равен ребру куба, а радиус — половине этого ребра. В свою очередь, пространственная диагональ куба связывает противоположные вершины и всегда больше ребра в $\sqrt{3}$ раз. Объединение этих зависимостей позволяет исключить промежуточные расчеты стороны куба.

Формула вычисления

Для прямого расчета радиуса вписанной сферы $r$ на основе известной диагонали $d$ применяется формула, включающая иррациональный коэффициент:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}d}{6}$$

$r$ — радиус вписанной в куб сферы;
$d$ — пространственная диагональ куба;
$\sqrt{3}$ — математическая константа.

Математическое обоснование

Вывод формулы, используемой в калькуляторе, базируется на последовательном выражении ребра куба через имеющиеся величины.

Логика вывода:

Базовая формула радиуса вписанной сферы: $r = \dfrac{a}{2}$, где $a$ — ребро куба.
Связь диагонали и ребра: $d = a\sqrt{3}$, откуда выражаем ребро: $a = \dfrac{\sqrt{3}d}{3}$.
Подставляем полученное выражение для $a$ в формулу радиуса: $r = \dfrac{\frac{\sqrt{3}d}{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}d}{6}$.

Калькулятор производит вычисление по данной формуле, обеспечивая точность результата. Программный метод расчета особенно эффективен при работе с дробными значениями диагоналей, так как позволяет избежать накопления погрешностей при извлечении корней и делении вручную.