Калькулятор радиуса вписанной сферы в тетраэдр по радиусу описанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус описанной сферы около правильного тетраэдра ($R$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$R =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$2$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус вписанной сферы в тетраэдр вычисляется по формуле $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$.

Радиус описанной сферы около тетраэдра равен $$R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$$.

Выразим из формулы радиуса описанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{2\sqrt{6}R}{3}$$
Подставим в выражение $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{2\sqrt{6}R}{3}$$

$$r = \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot \frac{2\sqrt{6}R}{3} = \frac{R}{3}$$

Радиус вписанной сферы в правильный тетраэдр по заданному радиусу описанной сферы вычисляется по формуле:

$$r = \frac{R}{3}$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в тетраэдр
$$R$$ — радиус описанной сферы около правильного тетраэдра

$$R = 6\,\text{см}$$
$$r = \frac{R}{3} = \frac{6}{3} = $$$$2\,\text{см}$$

Вычисление радиуса вписанной сферы в тетраэдр по радиусу описанной сферы

В правильном тетраэдре центры вписанной и описанной сфер совпадают. Это создает уникальную симметрию, при которой радиусы обеих сфер находятся в строгой пропорции друг к другу. Описанная сфера проходит через все вершины тетраэдра, в то время как вписанная касается центров его граней. Зная радиус внешней (описанной) сферы, можно вычислить радиус внутренней (вписанной) сферы, используя постоянный коэффициент.

Взаимосвязь радиусов сфер

Математическая зависимость между радиусами двух сфер в правильном тетраэдре выражается через простое линейное соотношение. Поскольку обе величины являются частями одной и той же высоты тетраэдра, их отношение всегда остается неизменным.

$r = \dfrac{R}{3}$

$r$ — радиус вписанной сферы;
$R$ — радиус описанной сферы;
$3$ — постоянный коэффициент соотношения.

Радиус вписанной и описанной сферы тетраэдра — Правильный тетраэдр.

Математическое обоснование

Вывод итогового выражения строится на сопоставлении формул обоих радиусов через длину ребра $a$. Это позволяет исключить параметры самой пирамиды и связать размеры сфер напрямую.

Этапы вывода формулы:

Радиус вписанной сферы вычисляется по формуле: $r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.
Радиус описанной сферы определяется как: $R = \dfrac{\sqrt{6}}{4}a$.
Если выразить ребро $a$ через радиус описанной сферы и подставить его в формулу для вписанной сферы, значения корней сокращаются.
В результате получается краткая зависимость: радиус вписанной сферы составляет ровно одну треть от радиуса описанной сферы.

Работа с калькулятором

Калькулятор автоматизирует процесс нахождения параметров вписанной сферы, обеспечивая точность результата и удобство работы с метрическими величинами.

Возможности инструмента:

Нахождение радиуса вписанной сферы на основе введенного значения описанной сферы.
Поддержка всех основных единиц измерения: от $мм$ до $км$.
Автоматическое преобразование размерностей, если входные данные и результат должны быть представлены в разных единицах измерения.

Применение данного калькулятора упрощает анализ свойств правильных многогранников и позволяет быстро проверить полученные в ходе теоретических расчетов результаты.