Арифметические действия над комплексными числами
Комплексные числа позволяют выполнять все стандартные арифметические операции. В зависимости от выбранной формы представления — алгебраической, тригонометрической или показательной — алгоритм вычислений может существенно упрощаться. Наш калькулятор поддерживает все виды операций, автоматически выбирая оптимальный путь решения.
Основные формы записи
Перед началом расчетов важно помнить структуру каждой формы записи, так как в формулах используются их специфические компоненты:
$$z = a + bi \text{ (алгебраическая)}$$
$$z = |z|(\cos{\varphi} + i \sin{\varphi}) \text{ (тригонометрическая)}$$
$$z = |z| \cdot e^{i\varphi} \text{ (показательная)}$$
- $a, b$ — вещественные числа (действительная и мнимая части);
- $|z|$ — модуль комплексного числа;
- $\varphi$ — аргумент (угол) числа.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание всегда проще всего выполнять в алгебраической форме.
Сложение:
$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$
$$|z_1| e^{i\varphi_1} + |z_2| e^{i\varphi_2} = (|z_1|\cos{\varphi_1} + |z_2|\cos{\varphi_2}) + i(|z_1|\sin{\varphi_1} + |z_2|\sin{\varphi_2})$$
Вычитание:
$$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$
$$|z_1| e^{i\varphi_1} - |z_2| e^{i\varphi_2} = (|z_1|\cos{\varphi_1} - |z_2|\cos{\varphi_2}) + i(|z_1|\sin{\varphi_1} - |z_2|\sin{\varphi_2})$$
Умножение
При умножении комплексных чисел в полярных формах их модули перемножаются, а аргументы складываются.
$$(a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i$$
$$|z_1|(\cos{\varphi_1} + i \sin{\varphi_1}) \cdot |z_2|(\cos{\varphi_2} + i \sin{\varphi_2}) = (|z_1| \cdot |z_2|) \cdot (\cos{(\varphi_1 + \varphi_2)} + i \sin{(\varphi_1 + \varphi_2)})$$
$$|z_1| e^{i\varphi_1} \cdot |z_2| e^{i\varphi_2} = (|z_1| \cdot |z_2|) \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$$
Деление
Для деления в полярных формах модули делятся, а аргументы вычитаются. В алгебраической форме для расчета используется умножение на сопряженное число знаменателя.
$$\dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \dfrac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$$
$$\dfrac{|z_1|(\cos{\varphi_1} + i \sin{\varphi_1})}{|z_2|(\cos{\varphi_2} + i \sin{\varphi_2})} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \cdot (\cos{(\varphi_1 - \varphi_2)} + i \sin{(\varphi_1 - \varphi_2)})$$
$$\dfrac{|z_1| e^{i\varphi_1}}{|z_2| e^{i\varphi_2}} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \cdot e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$$
Наш калькулятор выполняет вычисления строго в соответствии с выбранной вами формой представления. Если вы вводите данные в тригонометрическом или показательном виде, система будет использовать соответствующие геометрические формулы, сохраняя наглядность и логику решения для каждой конкретной формы записи. Это позволяет получить точный результат именно в том формате, который необходим для вашей задачи.