Арифметические операции над комплексными числами
Представление комплексного числа $$z$$ в алгебраической форме
$$z = a + bi$$
$$z\text{ - комплексное число}$$
$$a,b\text{ - вещественные числа}$$
$$i\text{ - мнимая единица}$$
Представление комплексного числа $$z$$ в тригонометрической форме
$$z = \lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$
$$z\text{ - комплексное число}$$
$$\lvert z \rvert\text{ - модуль комплексного числа}$$
$$φ \text{ - аргумент комплексного числа}$$
$$cos, sin\text{ - косинус и синус}$$
$$i\text{ - мнимая единица}$$
Представление комплексного числа $$z$$ в показательной форме
$$z = \lvert z \rvert \cdot e^{iφ}$$
$$z\text{ - комплексное число}$$
$$\lvert z \rvert\text{ - модуль комплексного числа}$$
$$φ \text{ - аргумент комплексного числа}$$
$$e \text{ - число Эйлера}$$
$$i\text{ - мнимая единица}$$
Рассмотрим сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел для трех форм представления комплексного числа: алгебраической, тригонометрической и показательной.
Сложение
$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$
$$(|z_1| \,×\, (cos(φ_1) + i sin(φ_1))) + (|z_2| \,×\, (cos(φ_2) + i sin(φ_2))) = ((|z_1| \,×\, cos(φ_1)) + (|z_2| \,×\, cos(φ_2))) + i((|z_1| \,×\, sin(φ_1)) + (|z_2| \,×\, sin(φ_2)))$$
$$\lvert z_1 \rvert \cdot e^{iφ_1} + \lvert z_2 \rvert \cdot e^{iφ_2} = ((|z_1| \,×\, cos(φ_1)) + (|z_2| \,×\, cos(φ_2))) + i((|z_1| \,×\, sin(φ_1)) + (|z_2| \,×\, sin(φ_2)))$$
Вычитание
$$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$
$$(|z_1| \,×\, (cos(φ_1) + i sin(φ_1))) - (|z_2| \,×\, (cos(φ_2) + i sin(φ_2))) = ((|z_1| \,×\, cos(φ_1)) - (|z_2| \,×\, cos(φ_2))) + i((|z_1| \,×\, sin(φ_1)) - (|z_2| \,×\, sin(φ_2)))$$
$$\lvert z_1 \rvert \cdot e^{iφ_1} - \lvert z_2 \rvert \cdot e^{iφ_2}= ((|z_1| \,×\, cos(φ_1)) - (|z_2| \,×\, cos(φ_2))) + i((|z_1| \,×\, sin(φ_1)) - (|z_2| \,×\, sin(φ_2)))$$
Умножение
$$(a + bi) \cdot (c + di) = \left(ac − bd \right) + \left(bc + ad \right)i$$
$$(|z_1| \,×\, (cos(φ_1) + i sin(φ_1))) \,×\, (|z_2| \,×\, (cos(φ_2) + i sin(φ_2))) = (|z_1| \,×\, |z_2|) \,×\, (cos(φ_1 + φ_2) + i sin(φ_1 + φ_2))$$
$$\lvert z_1 \rvert \cdot e^{iφ_1} \,×\, \lvert z_2 \rvert \cdot e^{iφ_2}= (|z_1| \,×\, |z_2|) \,×\, e^{\left(φ_1 + φ_2\right)}$$
Деление
$$\dfrac{(a + bi)}{(c + di)} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \dfrac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$$
$$\dfrac{(|z_1| \,×\, (cos(φ_1) + i sin(φ_1)))}{(|z_2| \,×\, (cos(φ_2) + i sin(φ_2)))} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \,×\, (cos(φ_1 - φ_2) + i sin(φ_1 - φ_2))$$
$$\dfrac{\lvert z_1 \rvert \cdot e^{iφ_1}}{\lvert z_2 \rvert \cdot e^{iφ_2}}=\dfrac{|z_1|}{|z_2|} \,×\, e^{\left(φ_1 - φ_2\right)}$$