Калькулятор радиуса вписанной сферы в тетраэдр по его высоте

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите высоту правильного тетраэдра ($h$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$h =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$r = $$$$\frac{37}{4}=$$$$9.25$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус вписанной сферы в тетраэдр вычисляется по формуле $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$.

Высота тетраэдра равена $$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$.

Выразим из формулы высоты тетраэдра значение стороны $$a$$.

$$a = \frac{\sqrt{6}h}{2}$$
Подставим в выражение $$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$ вместо $$a$$ полученное значение $$\frac{\sqrt{6}h}{2}$$

$$r = \frac{\sqrt{6}}{12}\cdot \frac{\sqrt{6}h}{2} = \frac{h}{4}$$

Радиус вписанной сферы в тетраэдр через его высоту вычисляется по формуле:

$$r = \frac{h}{4}$$
$$r$$ — радиус вписанной сферы в тетраэдр
$$h$$ — высота правильного тетраэдра

$$h = 37\,\text{см}$$
$$r = \frac{h}{4} = \frac{37}{4} = $$$$\frac{37}{4}=9.25\,\text{см}$$

Вычисление радиуса вписанной сферы в правильный тетраэдр по его высоте

В правильном тетраэдре все ключевые точки, включая центр вписанной сферы, лежат на его высоте. Сфера касается каждой грани тетраэдра точно в их центрах, что создает жесткую геометрическую связь между её радиусом и вертикальным размером фигуры. Зная высоту тетраэдра, можно без труда определить радиус вписанной в него сферы, используя простую линейную зависимость.

Взаимосвязь радиуса и высоты

Для расчета радиуса вписанной сферы используется фиксированное соотношение. Поскольку центр сферы делит высоту тетраэдра в строго определенной пропорции, итоговая формула выглядит лаконично и не требует работы с иррациональными числами.

$r = \dfrac{h}{4}$

$r$ — радиус вписанной сферы;
$h$ — высота правильного тетраэдра;
$4$ — коэффициент соотношения, определяющий долю радиуса от общей высоты.

Радиус вписанной сферы через высоту тетраэдра — Расположение высоты правильного тетраэдра.

Математическое обоснование

Вывод этой зависимости строится на исключении параметра ребра $a$ из формул радиуса и высоты. Это позволяет связать два параметра фигуры напрямую.

Этапы вывода формулы:

Высота правильного тетраэдра вычисляется как $h = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$.
Радиус вписанной сферы определяется формулой $r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.
Если выразить ребро $a$ через высоту и подставить его в формулу радиуса, значения корней сокращаются.
В результате получается зависимость, согласно которой радиус вписанной сферы составляет ровно одну четвертую часть от высоты.

Использование калькулятора в вычислениях

Калькулятор помогает автоматизировать расчеты, обеспечивая точность результата и удобство работы с различными метрическими величинами.

Возможности инструмента:

Вычисление радиуса на основе введенного значения высоты в $мм$, $см$, $дм$, $м$ или $км$.
Автоматическое приведение единиц измерения: система самостоятельно переводит данные, если высота и радиус должны быть представлены в разных размерностях.
Предоставление точного числового ответа, что исключает ошибки, возможные при ручном делении.

Применение данного калькулятора упрощает анализ свойств правильного тетраэдра и позволяет быстро проверить полученные в ходе решения задач результаты.