Обратное число к комплексному числу
Определение
Обратное число для числа x представляет собой такое число, которое при умножении на x дает 1. Например, обратное число для числа $$5$$ будет $$\frac{1}{5}$$ так как $$5 \cdot \frac{1}{5} = 1$$.
Обратные числа принято обозначать $$x^{-1}$$ или $$\frac{1}{x}$$
У любого ненулевого комплексного числа есть обратное, например, для числа $$\dfrac{1}{2}-3i$$ обратное число будет $$\dfrac{2}{37}+\dfrac{12}{37}i$$.
В зависимости от формы представления комплексного числа обратное число вычисляется по следующем формулам:
$$\left(a + bi\right)^{-1}$$$$ = \dfrac{1}{a + bi}$$$$ = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i$$
$$\left[\lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))\right]^{-1} $$$$= \dfrac{1}{\lvert z \rvert}(cos(φ) - i sin(φ))$$
$$\left[\lvert z \rvert \cdot e^{iφ}\right]^{-1}$$$$ = \dfrac{1}{\lvert z \rvert} \cdot e^{-iφ}$$