Обратное комплексное число: определение и формулы расчета
Понятие обратного числа в комплексной плоскости во многом совпадает с привычной арифметикой, но имеет свои особенности при вычислениях. Нахождение обратной величины необходимо для выполнения операции деления и решения уравнений в комплексной форме.
Определение обратного числа
Обратное число для числа $x$ представляет собой такое число, которое при умножении на $x$ дает $1$. Например, обратное число для обычного числа $5$ будет $\dfrac{1}{5}$, так как $5 \cdot \dfrac{1}{5} = 1$.
Для любого ненулевого комплексного числа существует единственное обратное ему число. Их принято обозначать как $z^{-1}$ или $\dfrac{1}{z}$. Например, для комплексного числа $\dfrac{1}{2}-3i$ обратным будет являться $\dfrac{2}{37}+\dfrac{12}{37}i$.
Формулы вычисления для разных форм записи
В зависимости от того, в какой форме представлено исходное комплексное число, применяются различные математические подходы для нахождения обратной величины.
1. Алгебраическая форма:
$$ (a + bi)^{-1} = \dfrac{1}{a + bi} = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i $$
2. Тригонометрическая форма:
$$ [|z|(\cos{\varphi} + i \sin{\varphi})]^{-1} = \dfrac{1}{|z|}(\cos{\varphi} - i \sin{\varphi}) $$
3. Показательная форма:
$$ [|z| \cdot e^{i\varphi}]^{-1} = \dfrac{1}{|z|} \cdot e^{-i\varphi} $$
- $a, b$ — вещественная и мнимая части числа;
- $|z|$ — модуль (в обратном числе он становится обратным $\frac{1}{|z|}$);
- $\varphi$ — аргумент (в обратном числе он меняет знак на $-\varphi$).
Как это работает на практике?
При работе с алгебраической формой вычисление сводится к нахождению квадрата модуля числа и раздельному расчету вещественной и мнимой частей. Это позволяет сразу получить результат в виде суммы двух дробей, где знаменателем каждой является величина $a^2 + b^2$, а мнимая часть итогового числа меняет свой знак на противоположный.
Пошаговый алгоритм вычисления:
- Для алгебраической формы: подставьте значения $a$ и $b$ в формулу вычисления обратного числа, возведя их в квадрат для нахождения знаменателя.
- Для тригонометрической и показательной форм: вычислите обратное значение модуля ($1$ деленное на $|z|$) и замените знак аргумента $\varphi$ на противоположный.
- Запишите итоговое число в упрощенном виде, выполнив финальные сокращения дробей.
Наш калькулятор выполняет эти преобразования мгновенно, автоматически проводя сопряжение для алгебраической формы и коррекцию углов для полярных форм, гарантируя точность результата до последнего знака.