Калькулятор радиуса описанной сферы около куба по радиусу вписанной сферы

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Введите радиус вписанной сферы ($r$), выберите единицы измерения, укажите формат вывода и нажмите «Вычислить».

$$r =$$

Показать пошаговое решение

Ответ$$R = $$$$10.2658651364607$$$$\,\text{см}$$Решение

Вывод формулы

Радиус описанной сферы около куба вычисляется по формуле $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$.

Радиус вписанной сферы в куб равен $$r = \frac{a}{2}$$.

Выразим из формулы радиуса вписанной сферы значение стороны $$a$$.

$$a = 2r$$
Подставим в выражение $$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$ вместо $$a$$ полученное значение $$2r$$

$$R = \frac{2r \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}r$$

Радиус описанной сферы около куба по радиусу вписанной сферы вычисляется по формуле:

$$R = \sqrt{3}r$$
$$R$$ — радиус описанной сферы около куба
$$r$$ — радиус вписанной сферы в куб

$$r = 5.927\,\text{см}$$
$$R = \sqrt{3}r = \sqrt{3} \cdot 5.927 = $$$$10.2658651364607\,\text{см}$$

Радиус описанной сферы через радиус вписанной сферы

В геометрии правильных многогранников вписанная и описанная сферы куба имеют общий центр, но различаются по принципу касания: одна ограничена гранями, а другая — вершинами. Математическая связь между их радиусами позволяет легко переходить от параметров одной сферы к другой. Наш калькулятор вычисляет радиус описанной сферы $R$, основываясь на известном значении радиуса вписанной сферы $r$.

Взаимосвязь вписанной и описанной сфер

Поскольку обе сферы центрированы в одной точке, их радиусы зависят исключительно от линейных размеров куба. Радиус вписанной сферы составляет половину ребра, а радиус описанной — половину пространственной диагонали. Так как диагональ куба всегда больше его ребра в $\sqrt{3}$ раз, это же соотношение сохраняется и для радиусов соответствующих сфер.

Формула вычисления

Для прямого перехода между радиусами используется коэффициент иррациональности, который связывает плоские и пространственные измерения куба:

$$R = \sqrt{3}r$$

$R$ — радиус описанной сферы около куба;
$r$ — радиус вписанной сферы в куб;
$\sqrt{3}$ — математическая константа ($\approx 1.732$).

Математическое обоснование

Логика вывода формулы, применяемой в калькуляторе, строится на исключении длины ребра куба из промежуточных расчетов.

Этапы вывода формулы:

Формула радиуса описанной сферы через ребро $a$: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Формула радиуса вписанной сферы через ребро $a$: $r = \dfrac{a}{2}$.
Выражаем ребро куба через радиус вписанной сферы: $a = 2r$.
Подставляем полученное значение в формулу для описанной сферы: $R = \dfrac{2r \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}r$.

Программный расчет по данной формуле обеспечивает высокую точность, исключая погрешности, которые могут возникнуть при самостоятельном округлении числа $\sqrt{3}$. Это особенно важно при решении сложных задач стереометрии и моделировании пространственных структур.