Калькулятор возведения в степень комплексного числа

$$\left({\lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))}\right)^{n} = \lvert z \rvert^{n} (\cos{nφ} + i \sin{nφ})$$
$$\left({\lvert z \rvert \cdot e^{iφ}}\right)^{n} = {\lvert z \rvert}^n \cdot e^{nφi}$$
где,
$$n \text{ - целое число}$$

Представим комплексное число в тригонометрической форме.

$$a + bi = \lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$, где
$$\lvert z \rvert\text{ - модуль комплексного числа}$$
$$φ \text{ - аргумент комплексного числа}$$
$$cos, sin\text{ - косинус и синус}$$
$$i\text{ - мнимая единица}$$

---

$$z = 1+\sqrt{3}i$$
$$a = 1$$
$$b = \sqrt{3}$$

---

Найдем модуль $$\lvert z \rvert$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

$$\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = $$$$\sqrt{4}=2$$

---

Найдем аргумент $$φ$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

Так как $$a > 0$$ то $$arg(z) = arctg\left(\frac{b}{a}\right)$$
$$arg(z) = arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} = 1.0471975511966$$$$\text{ радиан}$$

---

Запишем тригонометрическую форму $$\lvert z \rvert(cos(φ) + i sin(φ))$$ комплексного числа $$1+\sqrt{3}i$$

$$z = $$$$2 \cdot \left(\cos{\frac{\pi}{3} } + i \cdot \sin{\frac{\pi}{3} }\right)$$

---

Воспользуемся формулой Муавра

$$z^n = \lvert z \rvert^{n} (\cos{nφ} + i \sin{nφ})$$
$$n \text{ - целое число}$$

$$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{4} = 2^{4} \cdot \left(\cos{4 \cdot \frac{\pi}{3} } + i \sin{4 \cdot \frac{\pi}{3} }\right) = 16 \cdot \left(\cos{\frac{4}{3}\pi} + i \sin{\frac{4}{3}\pi}\right)$$

$$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{4} = 16\cdot\cos{\frac{4}{3}\pi}+16\cdot\sin{\frac{4}{3}\pi}i = -8-13.856406460551i$$