Калькулятор возведения в степень комплексного числа

Примеры ввода выражений

Дроби: 3/7 или -3/7
Квадратный корень: sqrt(3), sqrt(4.5), sqrt(1/2)
Степень: 4^2 или (1/2)^2
Скобки: (1/2)/4
Число π: записывается как pi, например, 2pi, pi/2, 3pi/2, sqrt(pi/3)

Выберите форму числа: алгебраическая $z = a + bi$, тригонометрическая $z = |z|(\cos\phi + i\sin\phi)$ или показательная $z = |z| \cdot e^{i\phi}$, заполните поля, укажите формат результата и нажмите «Вычислить».

Форма комплексного числа:

$$z =$$

$$+$$ $$i$$

Показатель степени

Результат в виде десятичной дроби

Показать пошаговое решение

Ответ$${\left(2 \cdot \left(\cos{\frac{\pi}{5}} + i \cdot \sin{\frac{\pi}{5}}\right)\right)}^{-3} = $$$$\frac{1}{8} \cdot \left(\cos{-\frac{3}{5}\pi} + i \cdot \sin{-\frac{3}{5}\pi}\right)$$$$$$Решение$$z = 2 \cdot \left(\cos{\frac{\pi}{5}} + i \cdot \sin{\frac{\pi}{5}}\right)$$

Воспользуемся формулой Муавра

$$z^n = \lvert z \rvert^{n} (\cos{nφ} + i \sin{nφ})$$
$$n \text{ - целое число}$$

$${\left(2 \cdot \left(\cos{\frac{\pi}{5}} + i \cdot \sin{\frac{\pi}{5}}\right)\right)}^{-3} = {2}^{-3} \cdot \left(\cos{-3 \cdot \frac{\pi}{5}} + i \cdot \sin{-3 \cdot \frac{\pi}{5}}\right) = \frac{1}{8} \cdot \left(\cos{-\frac{3}{5}\pi} + i \cdot \sin{-\frac{3}{5}\pi}\right)$$

Возведение комплексного числа в степень: формула Муавра

Возведение комплексного числа в большую степень (например, в десятую или сотую) в алгебраической форме крайне трудоемко. Для упрощения этой задачи математик Абрахам де Муавр вывел формулу, которая позволяет заменить многократное умножение на простые операции с модулем и аргументом числа.

Формула Муавра для разных форм записи

Любое ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической или показательной форме, можно возвести в целую степень по следующему правилу: модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

$$(|z|(\cos\varphi + i \sin\varphi))^n = |z|^n (\cos{n\varphi} + i \sin{n\varphi})$$ $$(|z| \cdot e^{i\varphi})^n = |z|^n \cdot e^{in\varphi}$$

$|z|$ — модуль комплексного числа;
$\varphi$ — аргумент числа;
$n$ — целое число (показатель степени).

Алгоритм вычисления

Если исходное число задано в алгебраической форме $z = a + bi$, процесс возведения в степень всегда включает предварительный переход к полярным координатам.

Пошаговый план:

Найти модуль $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Найти аргумент $\varphi$ (в радианах или градусах).
Применить формулу Муавра, возведя модуль в степень $n$ и умножив угол на $n$.
При необходимости перевести результат обратно в алгебраическую форму ($a + bi$).

Пример подробного решения

Вычислим значение выражения $(1+\sqrt{3}i)^4$.

1. Определим параметры числа $z = 1+\sqrt{3}i$:
$a = 1, b = \sqrt{3}$

2. Найдем модуль:
$|z| = \sqrt{1^2 + {\left(\sqrt{3}\right)}^2} = \sqrt{4} = 2$

3. Найдем аргумент:
Так как $a > 0$, то $\varphi = \text{arctg}{\dfrac{\sqrt{3}}{1}} = \dfrac{\pi}{3}$

4. Запишем тригонометрическую форму:
$z = 2 \cdot \left(\cos{\dfrac{\pi}{3}} + i \sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)$

5. Возведем в 4-ю степень по формуле Муавра:
$${\left(1+\sqrt{3}i\right)}^4 = 2^4 \cdot \left(\cos{4 \cdot \dfrac{\pi}{3}} + i \sin{4 \cdot \dfrac{\pi}{3}}\right) = 16 \cdot \left(\cos{\dfrac{4\pi}{3}} + i \sin{\dfrac{4\pi}{3}}\right)$$

6. Переведем в алгебраический вид:
$$16 \cdot \cos{\dfrac{4\pi}{3}} + 16 \cdot \sin{\dfrac{4\pi}{3}}i = 16 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 16 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)i = -8 - 13.856i$$

Наш калькулятор выполняет все эти шаги автоматически: от вычисления арктангенса до финального упрощения. Это позволяет избежать типичных ошибок при работе с тригонометрическими таблицами и знаками в разных четвертях комплексной плоскости.